В селе Полом Шутовы жили до 1940 года, где Евгений успел закончить неполную среднюю школу. Затем Ефима Даниловича по службе перевели в село Нагорское, куда он переехал вместе с семьей. Там Евгений продолжил образование в Нагорской средней школе.
Окончив ее в 1943 году, стал курсантом Ленинградской военно-морской академии, откуда после трех месяцев пребывания был отчислен по состоянию здоровья. После этого Шутов подал заявление в Московский авиационно-технологический институт, был зачислен и учился там до 1944 года. В период учебы проявил себя как интересная творческая личность, активно участвуя в художественной самодеятельности.
В 1944 году, по окончании первого курса, в составе комсомольской бригады самодеятельности Евгений Шутов был отправлен на Карельский фронт, где пробыл четыре месяца. Затем по рекомендации военной комиссии был направлен учиться в оперно-драматическую студию имени Станиславского в Москве, став студентом ее последнего набора на курсе М.Н. Кедрова.
По окончании студии в 1947 году был зачислен в труппу Московского драматического театра имени Станиславского и работал там до 1960 года. Сыграл Гришу-гармониста и Федора Дымкова («В тиши лесов»), Алешу («Две судьбы»), поручика Родде («Три сестры»), Никулина («Опасный путь») и другие роли. Затем три сезона был актером Московского театра имени Пушкина, а в 1963 году был принят в театр-студию киноактера, где оставался до 1990 года.
В кино Евгений Шутов ярко заявил о себе в 1955 году в комедии Ивана Лукинского «Солдат Иван Бровкин», сыграв бюрократа и подхалима Самохвалова, претендента в женихи к дочери председателя колхоза. Но настоящим открытием Шутова-киноактера, на мой взгляд, стал его Федор Фокин в фильме Юлия Райзмана «Коммунист», которого он сыграл с большим надрывом и предельным драматизмом.
В дальнейшем Шутов переиграл большое количество людей из народа, военных, рабочих. Вне зависимости от размера роли он всегда был на экране убедителен и достоверен. Его персонажи выделялись среди других героев своей неподдельной простотой и душевностью. Среди лучших ролей актера: Лыков («Любушка»), Морозов («Вызываем огонь на себя»), Скворцов («Моя улица»), Антип («Тени исчезают в полдень»), Охрим Шмель («Фронт без флангов», «Фронт за линией фронта»), Сергей Игнатьевич («Место встречи изменить нельзя»).
Евгений Шутов в совершенстве играл на баяне, обладал приятным певческим голосом. В театре вел военно-шефскую работу, исполнял фронтовые песни и песни советских композиторов под собственный аккомпанемент. Выйдя на пенсию, серьезно занялся вокалом, брал уроки у профессиональных педагогов.
В жизни Евгений Ефимович был добрым и приветливым. Обладал даром рассказчика. Сочинял стихи и эпиграммы, участвовал в капустниках. Был дружен с Иваном Рыжовым, часто бывая у него в гостях.
В 1949 году Евгений Шутов женился на Батовой Альбине Сергеевне, которая работала сначала в издательстве «Мир», затем в электродно-световой рекламе и связи. Сын Сергей (1950-2010) был старшим техником НИИ инженерно-производственных исследований Госстроя.
Последние годы жизни Евгений Ефимович часто болел, перенеся четыре инфаркта. Как всякий творческий человек он не мог сидеть на месте, постоянно принимал участие во всевозможных вечерах и концертах, устраиваемых Союзом кинематографистов и Гильдией актеров кино России. 28 ноября 1995 года, собираясь на один из таких вечеров, он плохо себя почувствовал и вскоре скончался. Врачи констатировали пятый инфаркт. Похоронили актера на Донском кладбище в Москве.