Юрий Мефодьевич Соломин родился 18 июня 1935 года в Чите. Родители — Мефодий Викторович Соломин и Зинаида Ананьевна Рябцева работали преподавателями музыки. Младший брат — народный артист РСФСР Виталий Соломин (1941–2002).
С детства участвовал в спектаклях читинского дома пионеров. После окончания школы в 1953 году поехал учиться в Москву в Высшее театральное училище имени М.С. Щепкина. Окончил класс народной артистки СССР Веры Пашенной в 1957-м.
После окончания училища поступил в труппу Государственного академического Малого театра Союза ССР. Начал с эпизодических ролей. Известность получил в 1966 году за роль Хлестакова в постановке «Ревизора» Николая Гоголя (режиссер — Игорь Ильинский). За годы работы в театре он сыграл более чем 50 спектаклях, в частности исполнял заглавные роли в постановках «Царь Федор Иоаннович», «Пучина», «Леший», «Дядя Ваня», «Сирано де Бержерак», «Живой труп», «Чайка», «Веер леди Уиндермир» и др.
С 1961 года преподает в Высшем театральном училище имени М.С. Щепкина, является его профессором, ведет мастер-классы. С 1980 года начал работать как театральный режиссер. Дебютировал как постановщик пьесы «Лес» Александра Островского в Болгарии, в Малом театре был режиссером «Ревизора», «Чайки», «Леса», «Коварства и любви», ставил спектакли в Высшем театральном училище имени М.С. Щепкина.
С 1988 года является художественным руководителем Малого театра. В кинематографе дебютировал в 1960 году в картине «Бессонная ночь» Исидора Анненского. Широкую известность актеру принесла роль капитана Кольцова в многосерийном телевизионном фильме «Адъютант его превосходительства» (режиссер — Евгений Ташков). После выхода картины Акиры Куросавы «Дерсу Узала» в 1975 году актер приобрел всемирное признание.
Среди других известных ролей актера — персонажи в фильмах «Блокада», «Хождение по мукам», «Обыкновенное чудо», «Летучая мышь», «ТАСС уполномочен заявить...», «Сны о России» и др. Всего юбиляр снялся в 70 картинах. В кино и на телевидении поставил фильмы «Скандальное происшествие в Брикмилле» по пьесе Джона Пристли, трехсерийный фильм «Берег его жизни», «В начале было слово», «Оставайся со мной».
С 8 сентября 1990 года по 6 ноября 1991 года занимал пост министра культуры РСФСР. Также является президентом Ассоциации русских драматических театров (МАТР) и членом-корреспондентом Российской академии образования (с 1992 года).
Среди полученных Юрием Соломиным наград и премий — звание народного артиста СССР (1988), Государственная премия РСФСР им. братьев Васильевых (1971, за роль в «Адъютанте его превосходительства»), Государственная премия РФ (2001). Он также был награжден орденами Дружбы Народов (1985), «За заслуги перед Отечеством» II, III и IV степеней (2005, 1999 и 1995), Почета (2010), рядом иностранных и церковных наград.