Родился 3 февраля 1985, в Новополоцке, Витебская область, БССР, СССР. Рост 183 см, вес 97 кг, амплуа – нападающий, игровой номер - 46. получил прозвище 'АК-46'. Младший брат Андрея, Сергей Костицын, с 2007 года играет в той же команде.
В детстве Андрей занимался в новополоцкой специализированной детско-юношеской школе по хоккею – в городе существует двенадцать детских хоккейных команд. Карьера Андрея Костицына началась в 2000 в новополоцкой команде 'Полимир', где он провел два сезона, соревнуясь в составе нескольких лиг, включая Восточно-европейскую хоккейную лигу (Eastern European Hockey League или EEH L). Летом 2002 он подписал контракт с ЦСКА и перебрался в Россию, однако продолжал играть за минскую 'Юность'.
На драфте НХЛ 2003 Костицына выбрал самый титулованный клуб НХЛ 'Montreal Canadiens' в первом раунде, под общим номером 10. Летом 2004-го Костицына пригласили в тренировочный лагерь клуба и подписали с ним трехлетнее соглашение. В сезоне 2004-05 Андрей выступал в АХЛ за 'Hamilton Bulldogs', набрав 23 очка в 66 играх.
Первая игра Костицына в НХЛ состоялась 1 декабря 2005.
Результат сезона 2007-08 составил 53 очка в 78 матчах. На чемпионате НХЛ братья Костицыны помогли своей команде добраться до 1/4 финала Кубка Стэнли. По итогам сезона 2007-08 Андрей Костицын был признан лучшим игроком Беларуси 2008, причем Сергей, его младший брат, занял третье место.
Летом 2008 'Монреаль' продлил контракт с Костицыным еще на три года. Сумма ежегодных выплат составила 3,25 миллиона долларов. В ноябре 2008 Андрей Костицын дал интервью, в котором рассказал, что вполне комфортно чувствует себя в Северной Америке, прижился там, и не собирается покидать НХЛ, которую считает лучшей лигой в мире. Зато приезжая летом в Белоруссию, знаменитый форвард может отдохнуть от поклонников и спокойно прогуляться по городу или пообедать в ресторане без того, чтобы неистовые болельщики устроили ажиотаж с автографами.
Андрей блеснул в матче, состоявшемся 27 декабря 2008 года в рамках регулярного чемпионата НХЛ. В игре против 'Pittsburgh Penguins' Костицын забросил все три шайбы. Этот прекрасный хет-трик привел к победе 'Монреаля' над 'Питтсбургом' со счетом 3:2. Однако в целом, этот сезон стал не самым удачным в карьере Андрея Костицына – к концу сезона дали себя знать неприятности со здоровьем. После того, как одну из игр хоккеист провел на обезболивающих препаратах и волевом усилии, руководство клуба отправило Андрея на медицинское обследование и курс восстановления. Сезон получился неудачным и для всего 'Монреаля', который готовился с триумфом отпраздновать столетний юбилей – результа тивность резко упала, игра разладилась.
С 2002-го выступает за национальную сборную Беларуси, заработав 32 очка (17 шайб и 15 передач) и получив 50 штрафных минут за 41 игру. Костицын-старший рассчитывал играть за сборную Беларуси на Зимних Олимпийских играх в Ванкувере в 2010, однако полученная им в декабре травма колена нарушила эти планы. Тренер белорусской сборной принял решение поставить на место Андрея нападающего минской 'Юности' Константина Захарова. Таким образом, возможность защищать честь белорусского хоккея на Белой Олимпиаде-2010 получил только младший брат Костицына, Сергей.
В феврале 2009 монреальская газета 'La Presse' сообщила, что оба Костицына и защитник Роман Хамрлик вовлечены в преступную организацию торговли наркотиками, однако НХЛ потребовала провести официальное расследование. Все обвинения с игроков были полностью сняты, а 'La Presse' заявила, что хоккеисты не имеют никакого отношения к преступному миру, и расследование в их отношении даже не планировалось.