Роберт Штраусс родился 8 ноября 1913 года в Нью-Йорке, в семье театрального художника по костюмам. В молодости сменил много профессий, был продавцом, официантом и помощником официанта.
С конца 1920-х годов стал играть на театральной сцене. Успех к актеру пришëл в театре на Бродвее в 1930 году, где он играл в классических пьесах Шекспира «Буря» и «Макбет». На Бродвее Р. Штраусс играл в пьесе «Шталаг 17» («Лагерь для военнопленных № 17»).
Сниматься в кино начал в 1942 году, но наиболее известным стал в 1950-х годах. В 1953 снялся в киноверсии «Шталаг 17» («Лагерь для военнопленных № 17») в роли Зверюги, за что в следующем году был номинирован на премию «Оскар» за лучшую мужскую роль второго плана. В 1930—1950 годах выступал в нескольких радиопостановках.
В 1960—1970-х годах снимался в кино, продолжая выступать на театральной сцене, участвовал во многих телевизионных программах, шоу и рекламных роликах. Сыграл целый ряд комедийных ролей.
Роберт Штраусс умер 20 февраля 1975 года от осложнений после инсульта.
Боб Хоуп представляет
Девочки! Девочки! Девочки!
Разбудите меня, когда это закончится
Средние века: На полпути куда?
Спящий город