Родился Элизондо в Нью-Йорке, в семье пуэрториканки Карман Медины Рейес и баска Мартина Эшеварии Элизондо. Его родители перебрались в Нью-Йорк, как и многие жители испаноязычных стран того времени, в надежде на лучшую жизнь в «американском стиле».
В детстве Элизондо демонстрировал таланты в спорте и музыке. Он пел для Хора Мальчиков Фрэнка Мюррея в возрасте десяти лет. Окончив обыкновенную старшую школу в 1951-ом, он записался в ряды Старшей Школы Исполнительских Искусств; параллельно, в обычной школе он демонстрировал отличные навыки игр в бейсбол и баскетбол; так, бейсбольные его таланты были достаточно хороши для того, чтоб его пригласили сразу «Гиганты Нью-Йорка» и «Пираты Питтсбурга».
В 1954-ом Элизондо поступил в Городской Колледж Нью-Йорка; на тот момент он планировал стать учителем истории. Но в самом начале обучения он стал отцом и был вынужден забросить колледж и пойти на работу на полный день – дабы прокормить семью. Позднее он развелся и получил полную опеку над своим сыном Роддом. Он и его нынешняя жена, Кэроли Кэмпбелл (призер премии «Эмми», фотограф и известный издатель) живут в Шерман-Оакс, Калифорния.
С 1962-го по 1963-ий Гектор изучал танцы в Компании Балетных Искусств в Карнеги-Холл; в 1963-ем он получил партии сразу в двух внебродвейских шоу – «Убить Одноглазого» и «Великая Белая Надежда». Первым его действительно успешным проектом была роль Бога в облике пуэрториканского работника парилки в пьесе «Паровая баня». За эту постановку Элизондо получил премию «Оби». Большинство его ролей – как того времени, так и настоящего момента – олицетворяли друга или помощника главного героя. Как актер озвучки он играл Бэйна, одного из злодеев в «Бэтмен: Тайна Бэтвумен». В 1974-ом Элизондо сыграл бывшего мафиози, угнавшего поезд в боевике «Захват поезда Пэлем 123».
В восьмидесятых Элизондо подружился с Гарри Маршаллом; Маршаллу импонировал его талант и дружба продержалась до сих пор, с немалой пользой для обоих. Первым их совместным кинопроектом был фильм «Влюбленные юные доктора». С тех пор Маршалл снимает Элизондо во всех своих фильмах в качестве талисмана. В титрах картины «Райское наслаждение» даже было написано: «И как обычно — Гектор Элизондо».
Дневники принцессы 2: Как стать королевой
Что новенького, Скуби-Ду?
Центр Кеннеди: Говорите правду властям
Всеми забытые: Из архивов международной амнистии
Команда спасателей Капитана Планеты
Убийство: По причине невменяемости
Молодость, больница, любовь
Захват поезда Пелэм 1-2-3
Величайший из романтических фильмов
Церемония вручения премии ALMA Awards 2002
Lifetime Presents: Disney's American Teacher Awards
Ночное шоу с Крейгом Килборном
51-я церемония вручения прайм-тайм премии «Эмми»
4-я церемония вручения премии Гильдии киноактеров
50-я церемония вручения прайм-тайм премии «Эмми»
49-я церемония вручения прайм-тайм премии «Эмми»
48-я церемония вручения прайм-тайм премии «Эмми»
22-я ежегодная церемония вручения премии People's Choice Awards
47-я церемония вручения прайм-тайм премии «Эмми»
44-я церемония вручения прайм-тайм премии «Эмми»
48-я церемония вручения премии «Золотой глобус»
17-я ежегодная церемония вручения премии People's Choice Awards