В 2002 году поступил в Санкт-Петербуржскую государственную академию театральных искусств, на актёрский факультет, мастерская Л.А.Додина.
Когда-то Алексей Осипов серьезно занимался легкой атлетикой и плаванием, а сейчас не представляет своей жизни без фитнеса и закаливания. Он не пьет, не курит, старается правильно питаться. Вместо традиционного кинокорма на съемочную площадку Алексей заказывает овощи и морепродукты. Актер очень любит рыбу, особенно копченого угря и, кстати, хорошо готовит.
Алексей Осипов не был женат и был бездетен, хотя очень любил детей. Актер мечтал о большой семье, в которой десять детей - не предел.
Осипов без вести пропал 13 февраля 2013 года. Вместе со своей знакомой он гулял по Финскому заливу в районе дамбы. В какой-то момент актер поссорился со спутницей, и она вернулась в машину. Больше Алексея Осипова никто не видел.
19 июля в полицию Кронштадта обратился гражданин Финляндии. Он сообщил, что видел труп в районе острова Котлин. В течение нескольких дней полицейские совместно со спасателями и волонтерами вели поиски. Тело было обнаружено 22 июля у дамбы возле Ломоносова. Теперь дознавателям предстоит выяснить причины смерти актера. Одна из версий гибели актера - провалился под лед при прогулке по Финскому заливу; другая версия - суицид.