Родился 24 июня 1970 года в Воронеже. Окончил Воронежский институт искусств в 1995 году. С 13 июня 1995 по 6 июля 2002 годы — актёр театра Сатиры на Васильевском в Санкт-Петербурге.
Алексей Осьмини был один из самых ярких драматических артистов не только в труппе театра Сатиры, но и в театральной жизни Санкт-Петербурга. Этот молодой артист обладал редким даром. В своих персонажах он был способен сочетать мягкий лиризм, разнообразные оттенки комического, внутренний драматизм, вырастающий подчас до масштабов подлинной трагедии. В своих героев, реальных и узнаваемых, Алексей умел вкладывать надбытовой, философский смысл, где с особой пронзительностью звучала любовь к жизни.
Его исполнение роли Павла в спектакле "Васса Железнова" отмечалось как незаурядное актерское свершение публикой, критикой и даже маститыми коллегами (К.Ю. Лавров высоко оценил эту работу и настоял на выдвижении актера на соискание Государственной премии России). Польская критика (менее скупая на эпитеты, чем российская) в многочисленных публикациях единодушно назвала эту работу "гениальной".
Одной из самых серьезных работ актера на сцене стала роль Эзопа в одноименном спектакле». Про эту роль говорят, что ее невозможно сыграть – только прожить. И то, что Алексею доверили ее в столь раннем возрасте, говорит о его большом мастерстве и опыте. Это была его последняя роль.
Алексей Осьминин трагически погиб 6 июля 2002 года на гастролях в Омске. Он ночью он выпал из окна номера гостиницы.
Вот как об этом писали: «Отправившись на гастроли в Омск, Алексей и представить не мог, что омский зритель буквально завалит сцену цветами, что оглушающий поток оваций не будет смолкать долгое время... Вот только домой гениальный артист вернулся в цинковом гробу...
Ближе к утру он вышел на балкон пятого этажа в гостице, где остановилась труппа. Его коллеги так и не смогли внятно ответить на вопрос "Что же произошло тогда?" Они видели лишь то, как Алексей летит вниз. Приехавшая скорая, уже ничем не смогла помочь... »