Драйвер родился в Сан-Диего, штат Калифорния и обучался в Университете Индианаполиса, прежде чем поступить в Джульярдскую школу, которую окончил в 2009 году.
В 2010 году он дебютировал на бродвейской сцене в постановке «Профессия миссис Уоррен», после чего начал свою карьеру на телевидении и в кино. С тех пор он появился в кинофильмах «Дж. Эдгар», «Линкольн» и «Внутри Льюина Дэвиса», прежде чем получить главную роль в предстоящем фильме «Здесь я тебя и оставлю», наравне с Конни Бриттон, Тиной Фей, Джейн Фондой и Джейсоном Бейтманом.