Старший брат – Рэм Леонидович Яворский по образованию историк, в годы Великой Отечественной Войны воевал на фронте, а впоследствии стал ректором Новокузнецкого педагогического института.
После окончания средней школы Феликс поехал в Москву и поступил на актерский факультет ВГИКа, в мастерскую Василия Ванина и Владимира Белокурова, которую окончил в 1954 году. Еще учась на третьем курсе, Яворский впервые снялся в кино – сыграл суворовца Савву Братушкина в фильме «Честь товарища».
Затем сразу же последовала роль футболиста Андрея Старкина в комедии «Запасной игрок». В дальнейшем исполнял, в основном, роли сильных мужественных героев, военных, начальников. Среди лучших работ: Андрей Гоголев («Бессмертный гарнизон»), Виктор Лещинский («Павел Корчагин»), Александр Ульянов («Семья Ульяновых»), Чубасов («Битва в пути»), Станкевич («Гусарская баллада»), Безродный («По тонкому льду»).
Сразу после окончания института Яворский вошел в труппу Театра-студии киноактера, где участвовал в нескольких спектаклях. Один из них – «Наследство» Сафронова, пользовался большой популярностью у зрителей.
С 1954 года Феликс Леонидович начал работать на дубляже и вскоре стал одним из ведущих мастеров дубляжа. Им озвучены более тысячи фильмов, его голосом говорили многие иностранные звезды и актеры союзных республик.
В Одессе, на съемках фильма «Запасной игрок», Феликс Яворский познакомился со своей будущей женой, актрисой Театра имени Ермоловой Еленой Георгиевной Ермаковой, которая была там на гастролях. Вскоре они поженились, а в 1959 году у супругов родился сын Егор.
Феликс Леонидович всегда очень много работал, а с начала 70-х годов фактически полностью перешел на дубляж, занимаясь им на всех московских студиях. В жизни он был искусным кулинаром. Его коронным блюдом была «утка Яворского», пользовавшаяся большой популярностью среди друзей и знакомых.
В декабре 1983 года Феликс Леонидович лег в больницу на операцию, которая прошла успешно. Через некоторое время ему стало хуже. Врачи обнаружили в организме анаэробную инфекцию, нужно было срочно делать дополнительную операцию. Но в этот момент лечащий врач Яворского был в отъезде, а остальные не успели вовремя среагировать, что и привело к кончине Феликса Леонидовича. Умер 14 декабря 1983 года, похоронили актера на Введенском кладбище.
Супруга Яворского, Елена Георгиевна Ермакова, актриса театра имени Ермоловой, умерла в 1982 году. Сын Егор как раз служил в армии, когда его родители ушли из жизни. Он окончил географический факультет Московского университета, но по специальности не работал. Он был дважды женат, его дочери сейчас 20 лет.