Впервые попал в кино школьником в 1959 году, на фильм "Необыкновенное путешествие Мишки Стрекачева". После этого определилась его актёрская судьба.
В 1965 году окончил Школу-студию МХАТ (курс В. П. Маркова), и был принят в труппу театра, с 1965 по 1990 гг. — актёр этого театра.
С 1987 года — в МХАТе им. Горького. Играл Хлестакова в «Ревизоре», Лариосика в «Днях Турбиных» и еще много других ролей.
Снимался в кино, но стал известен благодаря своим многочисленным работам в дубляже и озвучании фильмов. С 1991 года — актёр дублирует диснеевские мультфильмы.
Кроме Скруджа МакДака его голосом говорили в нашей стране герои первых бразильских теленовелл, впервые попавшие на советский экран. Знаменитый голос Луис Альберто Сальватьерра, Адольфо из сериала «Дежурная аптека», в котором он озвучил все мужские роли.
В настоящее время Алексей Алексеевич Борзунов больше озвучивает документальные программы, и его голос в дубляжах можно услышать не так часто. Среди последних его работ такие фильмы, как: «Индиана Джонс и Королевство хрустального черепа», «Гарри Поттер и Принц-полукровка», «Звёздный путь» и «Начало».
Много работает в качестве исполнителя аудиокниг, в числе которых: «Белая гвардия», «Маленький принц», «Остров сокровищ» (радио-спектакль), «Евангелие Господа и Бога и Спаса нашего Иисуса Христа», «Война миров». Участвовал в радиоспектаклях и радиоинсценировках, читает закадровый текст на канале Animal Planet.
За свое умение одинаково озвучивать персонажей-мужчин и женщин, блестяще вживаться в роль в среде своих поклонников и почитателей получил неофициальный титул «король дубляжа».
Дочь — актриса дубляжа Елена Борзунова. Работает в паре вместе с отцом на закадровом озвучивании.
Алексей Алексеевич ушел из жизни 7 июня 2013 года, после продолжительной болезни.